Tutorial e planilhas de preços da opção Binomial Este tutorial apresenta o preço da opção binomial e oferece uma planilha do Excel para ajudá-lo a entender melhor os princípios. Além disso, é fornecida uma planilha que fornece opções de baunilha e exóticas com uma árvore binomial. Desça até a parte inferior deste artigo para baixar as planilhas, mas leia o tutorial se quiser inclinar os princípios por trás do preço da opção binomial. O preço da opção Binomial baseia-se em uma hipótese sem arbitragem e é um método matematicamente simples, mas surpreendentemente poderoso, para preço de opções. Ao invés de confiar na solução para equações diferenciais estocásticas (que muitas vezes é complexa de implementar), o preço da opção binomial é relativamente simples de implementar no Excel e é facilmente compreendido. Sem arbitragem significa que os mercados são eficientes, e os investimentos ganham a taxa de retorno livre de risco. Árvores binomiais costumam ser usadas para preço de opções de venda americanas. Para o qual (ao contrário das opções de colocação européias) não existe uma solução analítica fechada. Árvore de preços para ativos subjacentes Considere um estoque (com um preço inicial de S 0) passando por uma caminhada aleatória. Ao longo de um passo de tempo t, o estoque tem uma probabilidade p de aumentar por um fator u, e uma probabilidade de 1 p de cair no preço por um fator d. Isto é ilustrado pelo seguinte diagrama. Cox, Ross e Rubenstein Model Cox, Ross e Rubenstein (CRR) sugeriram um método para calcular p, u e d. Existem outros métodos (como os modelos Jarrow-Rudd ou Tian), mas a abordagem CRR é a mais popular. Durante um pequeno período de tempo, o modelo binomial atua de forma semelhante a um ativo que existe em um mundo neutro em termos de risco. Isso resulta na seguinte equação, o que implica que o retorno efetivo do modelo binomial (do lado direito) é igual à taxa livre de risco. Além disso, a variação de um ativo neutro em risco e um ativo em um risco neutro Jogo mundial. Isso dá a seguinte equação. O modelo CRR sugere a seguinte relação entre os fatores reversíveis e negativos. Reorganizando estas equações dá as seguintes equações para p, u e d. Os valores de p, u e d dados pelo modelo CRR significam que o preço inicial do ativo subjacente é simétrico para um modelo binomial de várias etapas. Modelo Binomial em duas etapas Esta é uma estrutura binomial de duas etapas. Em cada estágio, o preço das ações subiu por um fator u ou baixo por um fator d. Observe que no segundo passo, existem dois preços possíveis, u d S 0 e d u S 0. Se estes forem iguais, diz-se que a rede está a ser recombinada. Se eles não são iguais, a rede é considerada não recombinante. O modelo CRR garante uma rede recombinante a suposição de que u 1d significa que você é S 0 d u S 0 S 0. E que a rede é simétrica. Modelo Binomial Multi-Step O modelo binomial multi-passo é uma extensão simples dos princípios dados no modelo binomial de duas etapas. Nós simplesmente avançamos no tempo, aumentando ou diminuindo o preço das ações por um fator u ou d a cada vez. Cada ponto na rede é chamado de nó e define um preço de ativos em cada ponto no tempo. Na realidade, muitas outras etapas geralmente são calculadas do que as três ilustradas acima, muitas vezes milhares. Pagamentos para preço de opção Consideraremos as seguintes funções de recompensa. V N é o preço da opção no nó de expiração N, X é o preço de ataque ou exercício, S N é o preço das ações no nó de expiração N. Agora, devemos descontar os retornos de volta a hoje. Isso envolve retroceder através da rede, calculando o preço da opção em todos os pontos. Isso é feito com uma equação que varia com o tipo de opção em consideração. Por exemplo, as opções européias e americanas são preços com as equações abaixo. N é qualquer nó antes do prazo de validade. Preço da opção Binomial no Excel Esta planilha do Excel implementa uma estrutura de preços binomial para calcular o preço de uma opção. Basta inserir alguns parâmetros como indicado abaixo. O Excel gerará a rede binomial para você. A planilha é anotada para melhorar sua compreensão. Observe que o preço das ações é calculado a tempo. No entanto, o preço da opção é calculado para trás, desde o período de expiração até hoje (isto é conhecido como indução para trás). A planilha também compara o preço Put e Call fornecido pela rede binária de preços de opções com o dado pela solução analítica da equação de Black-Scholes para muitos passos de tempo na rede, convergem os dois preços. Se você tiver dúvidas ou comentários sobre este tutorial de preços da opção binomial ou a planilha eletrônica, informe-me. Preço Vanilla e opções exóticas com árvore Binomial no Excel Esta planilha Excel apresenta vários tipos de opções (European. American. Shout. Chooser. Compound) com uma árvore binomial. A planilha também calcula os gregos (Delta, Gamma e Theta). O número de etapas do tempo é facilmente variado. A convergência de 8211 é rápida. Os algoritmos estão escritos em VBA protegido por senha. Se you8217d gostaria de ver e editar o VBA, compre a planilha desprotegida em investexcel. netbuy - planilhas. 22 pensamentos sobre ldquo Binomial Option Pricing Tutorial e Spreadsheets rdquo Oi, eu queria saber se você possui planilhas que calculam o preço de uma opção usando o modelo de preço de opção binomial (CRR) (incluindo o rendimento de dividendos) .. e depois uma comparação contra o preto O preço de escolhas (para as mesmas variáveis) pode ser mostrado em um gráfico (mostrando a convergência) I8217ve hackeou esta planilha. Ele compara os preços das opções européias dadas por equações analíticas e uma árvore binomial. Você pode alterar o número de etapas binomiais para comparar a convergência com a solução analítica. Oi, o modelo funciona perfeitamente quando o preço do exercício está próximo do preço da ação e o tempo até a maturidade é próximo ao número de etapas. Novato I8217m em modelos Binomial e experimentou mudando o preço do exercício e o número de etapas substancialmente. Se eu tiver um preço de faturamento fora do dinheiro. O valor do modelo Binomial aproxima Zero enquanto o valor BampS é mais 8220resistant8221. Se eu diminuir o número de passos para 1, o valor dos modelos Binomial aumenta dramaticamente, enquanto o valor BampS permanece o mesmo. Existe algo que você pode dizer sobre as limitações relativas ao modelo Binomial. Quando usar e não usar. John Slice diz: Você tem planilhas de uma árvore binomial com um estoque que paga dividendos trimestrais que eu posso parecer descobrir como lidar com isso. Há várias maneiras de abordar isso. A melhor maneira é usar um modelo de dividendo discreto e inserir a data real em que o dividendo é pago. Ainda não vi um modelo adequado no investexcel. No lugar disso, simplesmente determine o valor total em dólares de todos os dividendos trimestrais pagos entre Time0 e vencimento. Pegue esse número, divida-se pelo preço atual das ações para obter o rendimento de dividendos. Use este rendimento nos modelos fornecidos pela Samir. A maior imprecisão virá de um mispricing do premium americano, uma vez que um grande dividendo pago amanhã vs o mesmo dividendo pago um dia antes da expiração terá diferentes efeitos no prémio americano. Eu percebi isso agora. Eu só tive que adicionar mais etapas ao modelo. Isso funciona bem agora. Obrigado por um modelo explicativo e relativamente simples. Oi, você pode me indicar informações sobre como calcular os gregos dessas opções usando o modelo binomial, eu sei como fazê-lo para Black-Scholes, mas não para opções americanas. Obrigado por qualquer ajuda que você possa me dar, e excelente trabalho na sua planilha. Antes de tudo, quero agradecer por publicar isso, particularmente a planilha do Excel que mostra a árvore do preço binomial com ilustrações de guias. Extremamente útil. Em segundo lugar, eu brinquei com esse arquivo, e acredito que descobri um pequeno busto na planilha. Ao tentar descobrir como a equação de preço da opção de venda funciona na célula E9, notei que a fórmula faz referência a B12 (nSteps), mas tenho certeza de que é suposto fazer referência a B11 (TimeToMaturity). Parece-me que a lógica dessa fórmula é que o preço da opção de venda é impulsionado pelo preço de comprar a chamada e vender o estoque subjacente (criando uma venda sintética, estabelecendo dividendos para esse fim) e depois ajustando Este valor, descontando a greve futura da colocação por r por períodos t, que eu vagamente parece lembrar, está ajustando a taxa de retorno imputada sobre o excesso de caixa da venda de ações. Em qualquer caso, nSteps em princípio não deve entrar em jogo aqui. D, eu vi o mesmo sobre colocar preços também. Eu acho que estava tentando usar a paridade de put-call1, mas como você anotou isso usando a variável errada. A fórmula deve ser: E8StrikePriceEXP (-RiskFreeRateTimeToMaturity) - SpotPrice Além disso, acho que há um erro na célula 8220up probabilidad8221 também. Você precisa subtrair o rendimento de dividendos da taxa de juros, então a fórmula deve ser: (EXP ((B9-B13) B16) - B18) (B17-B18) Obrigado pela planilha Eu gostei do seu modelo binografico Binomial. Estou usando o modelo para prever os preços do ouro para uma vida de mina de 20 anos. Como faço para obter apenas a previsão de preços, em vez de desconto, como muitas vezes feito. Ansioso pela sua ajuda e eu vou reconhecê-lo no meu trabalho de tese Hey Samir, posso fazer apenas 5 passos com o modelo Seria possível adicionar mais passos Obrigado e melhores cumprimentos Peet PS É a fórmula já ajustada conforme proposto por D e Ben West Like the Free Spreadsheets Master Knowledge Base Mensagens recentes Estamos preocupados com o problema do preço de opções simples de baunilha com dividendos em dinheiro em um modelo lognormal por partes. No caso plain-vanilla oferecemos um método com limites finais e inferiores finos do preço do binômio verdadeiro. I Introdução Os ativos de ações pagam freqüentemente dividendos em horários discretos e isso produz modificações importantes nos procedimentos numéricos envolvidos no preço da opção. Para as opções simples de baunilha, várias fórmulas próximas e técnicas de aproximação foram investigadas em trabalhos anteriores (ver, por exemplo, Haug-Haug-Lewis 5. Meyer 8. Bos-Wandemark 3. Bos-Gairat-Shepeleva 2. Beneder-Vorst 1). Essas aproximações, como mostrado em (9), não são muito precisas. Além disso, Wilmott et al. 10 apresentaram uma abordagem de diferenças finitas para opções de preços na presença de dividendos em dinheiro. Vellekoop-Nieuwenhuis 9 apresentou uma árvore modificada Cox-Ross-Rubinstein (CRR) 4 que supera a propriedade não recombinante da árvore CRR padrão quando considerados dividendos discretos. Esses algoritmos baseiam-se principalmente em técnicas de interpolação adequadas em datas de dividendos. Introduzimos diferentes métodos de árvores que cobrem opções europeias e americanas de planície-baunilha na presença de dividendos discretos. No caso plain-vanilla, propomos um algoritmo baseado na abordagem de pontos singulares introduzida em 7. Esta técnica nos permite obter um limite superior e inferior do verdadeiro preço binomial computacionalmente eficiente. Mais precisamente, fornecemos, a cada passo de tempo da árvore, uma representação contínua do preço da opção como uma função linear por partes do preço das ações. Esta função é caracterizada apenas por um conjunto de pontos, denominados 8221sulares suaves8221, que podem ser facilmente calculados recursivamente por indução para trás. Embora o número de pontos singulares cresça rapidamente em cada data de dividendo, seu número pode ser drasticamente reduzido de forma direta, controlando, ao mesmo tempo, o erro envolvido no procedimento de eliminação e fornecendo estimativas superiores e inferiores. O controle do erro permite também obter imediatamente a convergência do método para o valor contínuo. O artigo está organizado da seguinte forma: na Seção 1 apresentamos o modelo do bem de risco, na Seção 2 apresentamos a técnica de pontos singulares. Na Seção 3, apresentamos o algoritmo de pontos singulares para preços de opções européias e americanas com dividendos em dinheiro. Na seção 4 apresentamos os resultados numéricos. 1 O modelo Neste artigo, consideramos um modelo de mercado onde a evolução de um ativo de risco, entre as datas de dividendos envolvendo um pagamento de dividendos em dinheiro, é regida pela equação diferencial estocástica de Black-Scholes onde (B t) 0 x2264 t x2264 T é Um movimento Browniano padrão, sob a medida de risco neutro Q. A constante não negativa r é a força da taxa de juros e x03C3 é a volatilidade do ativo de risco. Para avaliar as opções de barreira simples e barreira neste modelo lognormal por partes com dividendos discretos, consideramos agora uma abordagem binomial. Seja n o número de etapas da árvore binomial e x0394 T o tempo-passo correspondente. Para simplificar a construção da árvore binomial, assumimos na sequência disso. I 1. n D 1. é um número inteiro (caso contrário são necessárias interpolações adequadas na variável de tempo). O processo binomial discreto padrão (sem dividendos) é dado por onde as variáveis aleatórias Y 1. X2026, Y n são independentes e são distribuídos de forma idêntica com valores em. Digamos por x03C0 x2119 (Y n u). A árvore Cox-Ross-Rubinstein corresponde à escolha u e x03C3 e a fim de ter em conta a presença de dividendos, em cada momento t i. I 1. n D. Temos que subtrair o valor do dividendo D i correspondente em cada nó da árvore. Deixe-nos observar que a árvore assim construída não é recombinante. De fato, a presença de dividendos leva a uma nova árvore de cada nó em cada data de pagamento do dividendo. 2 A abordagem dos pontos singulares O preço de opções europeias ou americanas pode ser feito por uma equação de programação dinâmica reversa usando o algoritmo da árvore 8221pure8221 (veja, por exemplo, a descrição dada em Hull 6). No entanto, devido à propriedade não recombinante da árvore binomial, a implementação direta do algoritmo leva a um procedimento ineficiente. Observe que no caso m para todos i 1. n D 1. a complexidade computacional do procedimento é m n D 2. Wilmott et al. 10 sugerem usar uma técnica de interpolação linear para fazer a recombinação da árvore. Mais tarde, Vellekoop e Nieuwenhuis 9 provaram a convergência para o valor contínuo de uma abordagem binomial similar em casos europeus e americanos. Aqui propomos uma abordagem diferente, baseada na técnica de pontos singulares, introduzida em 7. Que permite aproximar o preço do binômio puro com um nível de erro a priori fixo. O procedimento introduzido em 7 pode ser adaptado de forma simples a este contexto. Na sequência, por causa da completude e para esclarecer as diferenças em relação a 7. Nós a apresentamos em detalhes. De acordo com as notações introduzidas em 7, usaremos a próxima definição Definição 1. Consideremos um conjunto de pontos: (x 1, y 1). (X n, y n). De modo que e a função linear por partes f (x). X x2208 a, b. Obtido interpolando linearmente os pontos dados. Os pontos (x 1, y 1). (X n, y n) (que caracterizam completamente f), serão chamados pontos singulares de f. Enquanto x 1. X n serão chamados os valores singulares de f. Deixe-nos notar que f é convexo se e apenas as inclinações estão aumentando, ou seja, x03B1 i x2264 x03B1 i 1 para todos i 1. n - 1. A abordagem do ponto singular permite construir limites superiores e inferiores do preço da opção em um simples Maneira, como apontado na próxima observação (veja também a interpretação geométrica nas Figuras 1 e 2). Observação 1. Seja f uma função linear e convexa por partes definida em a, b. E deixe C 1, y 1). (X n, y n) seja o conjunto de seus pontos singulares. Então: a) Removendo um ponto (x i, y i). 2 x2264 i x2264 n - 1. a partir do conjunto C. a função linear por partes resultante. Cujo conjunto de pontos singulares é C i, y i). É novamente convexo em a, b e temos: b) Digamos por (x. Y) a interseção entre a junção de linha reta (x i - 1, y i - 1). (X i, y i) e a união (x i 1, y i 1). (X i 2, y i 2). 2 x2264 i x2264 n - 2. Se considerarmos o novo conjunto de n-1 pontos singulares, a função linear por partes associada é novamente convexa em a, b e temos: Figurax00A01: estimativa superior: x 4 foi removido. Figura x00A02: estimativa menor: x 3 e x 4 foram removidos, x foi inserido. 3 opções simples de baunilha Vamos considerar uma opção de chamada europeia com dividendos discretos. A abordagem de pontos singulares consiste em um procedimento atrasado que nos permite obter uma representação contínua do preço da opção em cada etapa do tempo como uma função contínua linear por partes do ativo subjacente. Essas funções de preço são caracterizadas por seus pontos singulares. Daí o procedimento de preço depende exclusivamente do conhecimento dos pontos singulares em cada etapa da árvore. É importante notar que o procedimento fornece exatamente o valor binário puro. No entanto, permite obter uma melhoria importante, de fato, o preço binomial pode ser aproximado, removendo alguns pontos singulares seguindo o procedimento descrito na Observação 1 e dando, ao mesmo tempo, um controle do erro. Prosseguimos agora para a descrição da função de preço v i (S) em cada etapa da árvore. Para este fim, temos que avaliar o mínimo e o máximo do ativo de risco no vencimento. Tal máximo e mínimo podem ser avaliados indutivamente na árvore. Denotando por S i min. S i max o mínimo e o valor máximo do subjacente no passo i. I 0. n. Um tem Na maturidade, o preço da opção, como função do bem subjacente S. é continuamente definido por v n (S) é uma função convexa linear por partes caracterizada pelos três pontos singulares (A n l, P n l). L 1. 2. 3 dado por: Claramente, se K x2044x2208 (S n min, S n max), os pontos singulares diminuem para dois. Na etapa i n - 1, é possível concluir que v n - 1 (S) é linear e convexo por partes. Os valores singulares de v n - 1 são S n - 1 min. S n - 1 max. E eventualmente Kd. Ku se pertencem a (S n - 1 min, S n - 1 max). Para calcular os preços das opções correspondentes, temos que aplicar a fórmula (3). Para este fim, observamos, por exemplo, que v n - 1 (Ku) e - r x0394 T x03C0v n (Ku 2) (1 - x03C0) v n (K). Agora v n (K) já é conhecido, enquanto v n (Ku 2) deve ser calculado por linearidade. O mesmo procedimento é válido para os outros pontos singulares também. Então, seguimos iterativamente da mesma maneira para i n - 2. 0. Mais precisamente, avaliamos os valores singulares de v i (S) considerando os valores singulares de v i 1 (S) multiplicados pelo fator de aumento u e pelo fator descendente d. Esses valores se tornam valores singulares de v i (S) se pertencem ao domínio (S i min, S i max). A avaliação dos preços das opções correspondentes deve ser feita de novo pela equação (3). Como antes, esta fórmula precisa do cálculo de v i 1 (Su) e v i 1 (Sd). Um deles será computado diretamente enquanto o último deve ser computado por linearidade. Nas datas de dividendos, o procedimento anterior precisa de um tratamento adicional. Deixe, na verdade, uma data de dividendo e deixe (A i 1, P i 1). (A i L, P i L) os pontos singulares associados a esta data e avaliados pelo procedimento anterior. A presença do dividendo reduz os valores do valor do dividendo D j. Avançando no tempo, temos que aumentar os valores singulares dessa quantidade. Portanto, o novo conjunto de valores singulares torna-se. Este procedimento induz um grande incremento do número de pontos singulares, de fato, devido à propriedade não recombinante, o número de pontos singulares pode dobrar em cada etapa após a data do dividendo. Finalmente, no passo i 0, obtemos apenas um ponto singular: (s 0, P 0 1). P 0 1 fornece o preço binomial puro da opção de chamada européia com múltiplos dividendos discretos. No caso americano, a função v i (S) se torna na data do dividendo t j. Em virtude do deslocamento devido ao dividendo, v i c (S) deve ser calculado. Por isso, em datas de dividendos, aplicamos primeiro a mudança do ativo e, em seguida, a otimização precoce. Esse pedido no cálculo é devido ao fato de que é conveniente exercitar eventualmente apenas antes das datas do dividendo. Isso também implica que, para as opções de venda, a ordem deve ser invertida: após a avaliação do valor de continuação, avaliamos a otimidade do exercício antecipado e, em seguida, aplicamos a mudança de dividendos. Em cada passo, i v i (S) ainda é linear e convexo por partes, daí o procedimento explicado no caso europeu se mantém novamente. A única diferença está relacionada ao cálculo dos pontos singulares. Na verdade, primeiro precisamos avaliar os pontos singulares de v i c (S). Então, temos que avaliar os pontos singulares de v i (S). Por convexidade, isso pode ser feito considerando três possíveis casos: S i max - K x2264 v i c (S i max), em seguida, v i x2261 v i c. Então os pontos singulares não mudam S i max - K x003E v i c (S i max) e S i min - K x2265 v i c (S i min). Então v i (S) x2261 S - K., portanto, existem apenas dois pontos singulares: os extremos. S i max - K x003E v i c (S i max) e S i min - K x003C v i c (S i min). Então existe um valor único S onde o valor de continuação coincide com o exercício inicial. Os pontos singulares de v i são agora: todos aqueles cujo valor singular é menor que S. então (S. S - K) e (S i max, S i max - K) (veja a Figura 3). Figurex00A03: O ponto S foi inserido, A 4 e A 5 foram removidos. Este argumento pode ser aplicado em cada passo i n - 1. 0. Isso permite calcular P 0 1, que fornece o preço binômico americano puro associado à árvore com n etapas. A técnica apresentada anteriormente é ineficiente de um ponto de vista computacional devido ao alto número de pontos singulares gerados em cada data de dividendos. No entanto modificações simples permitem reduzir drasticamente o número de pontos singulares que fornecem um limite superior e inferior do valor binário exato. Para obter um limite superior do preço binário puro, acabamos de remover alguns pontos singulares em cada etapa. A nota 1.a garante que o valor obtido dessa maneira é uma estimativa superior do preço do binômio puro. O critério para remover os pontos singulares é o mesmo que apresentado em 7. Mais precisamente, considere o conjunto de pontos singulares C i 1, P i 1). (A i L, P i L) no passo i. E a função de valor de preço correspondente v i (S). Deixe v x2032 i (S) ser a função de valor de preço obtida removendo um ponto (A il, P il) de C. Nós temos (veja a Figura 4) Referências 1 x00A0x00A0x00A0 Beneder, R. Vorst, T. (2001): Opções Sobre os dividendos que pagam as ações. Desenvolvimentos Recentes em Finanças Matemáticas (Xangai). Riverhedge, NJ: Word Publishing Científica. 2 x00A0x00A0x00A0 Bos, R. Gairat, A. Shepeleva, A. 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